Question

15．點(diǎn)M到橢圓4x²+$\frac{16{y}^{2}}{3}$=1右焦點(diǎn)F₂的距離和它到經(jīng)過左焦點(diǎn)F₁且與x軸垂直的直線距離相等．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在點(diǎn)M的軌跡上，頂點(diǎn)C，D在直線y=x+4上，求正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a，b，c，可得左右焦點(diǎn)，運(yùn)用拋物線的定義，即可得到M的軌跡方程；
（2）設(shè)出AB的直線方程，通過與拋物線聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式求出AB的距離，通過AB的距離等于AD距離，求出直線AB方程，即可得到正方形的邊長(zhǎng)．

解答 解：（1）橢圓4x²+$\frac{16{y}^{2}}{3}$=1即為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{16}}$=1，
可得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
由題意可得M到點(diǎn)F₂（$\frac{1}{4}$，0）的距離和到直線x=-$\frac{1}{4}$的距離相等，
由拋物線的定義可得，M的軌跡為以F₂為焦點(diǎn)，直線x=-$\frac{1}{4}$為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為y²=x；
（2）設(shè)直線l：y=x+b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，即有y²-y+b=0，
可得△=1-4b＞0，y₁+y₂=1，y₁y₂=b，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-4b}$，
∵|AD|=$\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$，
∴=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-4b}$=$\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$，
化為b²+8b+12=0，解得b=-2或-6，
∴正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{|b-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義，考查正方形的邊長(zhǎng)的求法，解答的關(guān)鍵是直線AB的設(shè)法，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用是解題的難點(diǎn)也是易錯(cuò)點(diǎn)，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．