Question

17．過拋物線y²=2x的焦點(diǎn)作一條傾斜角為銳角α，長度不超過4的弦，且弦所在的直線與圓x²+y²=$\frac{3}{16}$有公共點(diǎn)，則角α的最大值與最小值之和是$\frac{7π}{12}$．

Answer 1

分析 設(shè)所作直線AB的方程為：y=k$（x-\frac{1}{2}）$，（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根據(jù)弦AB所在的直線與圓x²+y²=$\frac{3}{16}$有公共點(diǎn)，可得k²≤3．與拋物線方程聯(lián)立化為${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}$=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=x₁+x₂+1≤4，化為1≤k²．綜上可得：$1≤k≤\sqrt{3}$，即$1≤tanα≤\sqrt{3}$，α∈（0，π），解出即可．

解答 解：設(shè)所作直線AB的方程為：y=k$（x-\frac{1}{2}）$，（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵弦AB所在的直線與圓x²+y²=$\frac{3}{16}$有公共點(diǎn)，∴$\frac{\frac{1}{2}|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，化為k²≤3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化為${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，
∴|AB|=x₁+x₂+1=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+1≤4，化為1≤k²．
綜上可得：1≤k²≤3，∵k＞0．
∴$1≤k≤\sqrt{3}$，
∴$1≤tanα≤\sqrt{3}$，α∈（0，π），
∴$\frac{π}{4}≤α≤\frac{π}{3}$，
∴角α的最大值與最小值之和是$\frac{7π}{12}$．
故答案為：$\frac{7π}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、焦點(diǎn)弦長公式、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．