【題目】如圖，在棱長為1的正四面體ABCD中，M，N分別為棱AB和CD的中點，一個平面分別與棱BC，BD，AD，AC交于E，F，G，H，且MN⊥平面EFGH.給出下列六個結論：①AC⊥BD，②AB//平面EFGH，③平面ABC⊥平面EFGH，④四邊形EFGH的周長為定值；⑤四邊形EFGH的面積有最大值；⑥四邊形EFGH一定是矩形，其中，所有正確結論的序號是_____.

【答案】①②④⑤⑥

【解析】

利用正四面體的性質判斷①；利用直線與平面垂直的性質判斷②；平面是否垂直判斷③；通過折疊與展開判斷④；求出四邊形的面積判斷⑤；判斷四邊形的形狀判斷⑥；

在棱長為1的正四面體中，對棱垂直，所以①，正確；

，分別為棱和的中點，可知，，

一個平面分別與棱，，，交于，，，，且平面．

所以，平面，所以②正確；

同時，所以四邊形一定是矩形，所以⑥正確；

平面平面，所以平面平面不正確，即③不正確；

由比例關系可知：是定值，四邊形的周長為定值2，④正確；

由基本不等式的形狀，可知四邊形的面積有最大值1；所以⑤正確；

故答案為：①②④⑤⑥．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù) 若，則的最小值為__________； 若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是_______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在長方體中，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點F，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②對于棱上任意一點E，在棱上均有相應的點G，使得平面；

③O為底面對角線和的交點，在棱上存在點H，使平面；

④存在唯一的點E，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中為真命題的是____________________.（填寫所有正確答案的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，且，.

（1）證明:平面平面；

（2）若點為的中點，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某農(nóng)場所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了2019年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下表：

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y（顆）

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的兩組數(shù)據(jù)進行檢驗.

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；

(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；并預報當溫差為時，種子發(fā)芽數(shù).

附：回歸直線方程：，其中；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1.

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程：

（2）若非零實數(shù)a使得f（x）axax2對x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定點，動點在軸上運動，過點作直線交軸于點，延長至點，使．點的軌跡是曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個動點，滿足，證明：直線過定點；

（3）若直線與曲線交于，兩點，且，，求直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.過原點的直線與橢圓有兩個不同的交點.

（1）求橢圓長半軸長；

（2）求最大值；

（3）若直線分別與軸交于點，求證：的面積與的面積的乘積為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的準線l經(jīng)過橢圓的左焦點，且l與橢圓交于A，B兩點，過橢圓N右焦點的直線交拋物線M于C，D兩點，交橢圓于G，H兩點，且面積為3.

（1）求橢圓N的方程；

（2）當時，求.

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