Question

如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點(diǎn)，AB=AC．
（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）證明：平面B₁DC⊥平面CBB₁．
（Ⅲ）若BB₁=BC，求二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接EO、OA，由已條條件推導(dǎo)出四邊形AOED是平行四邊形，由此能證明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知條件條件出AO⊥平面BB₁C，從而得到DE⊥平面BB₁C，由此能證明平面B₁DC⊥平面CBB₁．
（Ⅲ）作過C的母線CC₁，連接B₁C₁，連接A₁O₁，過O₁作O₁H⊥B₁C，連接A₁H，由已知條件推導(dǎo)出∠A₁HO₁為二面角A₁-B₁C-B平面角的補(bǔ)角，由此能求出平面A₁B₁C與平面BB₁C所成二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，連接EO、OA．
∵E、O分別為CB₁、BC的中點(diǎn)，∴EO是△BB₁C的中位線，
∴EO∥BB₁且EO=

1

2

BB1．
又DA∥BB₁且DA=

1

2

BB1=EO，∴DA∥EO且DA=EO，
∴四邊形AOED是平行四邊形，即DE∥OA，
又DE?平面ABC，OA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵AB=AC，BC為直徑，∴AO⊥BC，
又BB₁⊥AO，從而AO⊥平面BB₁C，
∵DE∥AO，∴DE⊥平面BB₁C，DE?平面B₁DC，
∴平面B₁DC⊥平面CBB₁…（8分）
（Ⅲ）解：如圖，作過C的母線CC₁，連接B₁C₁，
則B₁C₁是上底面圓O₁的直徑，連接A₁O₁，
則A₁O₁∥AO，又AO⊥平面CBB₁C₁，
∴A₁O₁⊥平面CBB₁C₁，過O₁作O₁H⊥B₁C，
連接A₁H，則A₁H⊥B₁C，所以∠A₁HO₁為二面角A₁-B₁C-B平面角的補(bǔ)角．…（10分）
∵BB₁=BC，∴BB₁C₁C為正方形，∠O1B1C =450，∴O1H=O1B1•sin450=

2

2

r（r為圓柱半徑），
∴在Rt△A₁O₁H中，cos∠A1HO1=

O1H

A1H

=

2 2 r

r2+( 2 2 r)2

=

3

3

．
∴平面A₁B₁C與平面BB₁C所成二面角A₁-B₁C-B的余弦值是-

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．