Question

7．函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^3}$-sinx-2x的定義域為R，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，且a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₅＜0，記m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅），關(guān)于實數(shù)m，下列說法正確的是（　�。�

• A． m恒為負數(shù)
• B． 當d＞0時，m恒為正數(shù)；當d＜0時，m恒為負數(shù)
• C． m恒為正數(shù)
• D． 當d＞0時，m恒為負數(shù)；當d＜0時，m恒為正數(shù)

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式可得f（x）是奇函數(shù)，由它的導數(shù)f′（x）＜0，可得函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．分d＞0和d＜0以及d=0三種情況，分別利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求得 f（a₁）+f（a₂₀₁₅）＞0，f（a₂）+f（a₂₀₁₄）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁3）＞0，…，從而得到 m＞0，從而得出結(jié)論．

解答 解：解：∵函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^3}$-sinx-2x定義域為R，是奇函數(shù)，
且它的導數(shù)f′（x）=-$\frac{3}{2}$x²-cosx-2＜0，
故函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，當d＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，
由a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₅＜0，
可得 a₂₀₁₅＜-a₁，∴f（a₂₀₁₅）＞f（-a₁）=-f（a₁），∴f（a₁）+f（a₂₀₁₅）＞0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₄）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁₃）＞0，…
故 m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₅） 
=f（a₁）+f（a₂₀₁₅）+f（a₂）+f（a₂₀₁₄）+f（a₃）+f（a₂₀₁₃）+…+f（a₁₀₀₇）+f（a₁₀₀₉）+f（1008）＞0．
當d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，同理求得 m＞0．
當d=0時，該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，每一項都小于0，故有f（a_n）＞0，
故m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₅）＞0，
故選：C．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性的應用，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．