Question

19．已知三個(gè)集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，C={x|x²-bx+2=0}，問同時(shí)滿足B⊆A，A∪C=A的實(shí)數(shù)a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x|x²-ax+a-1=0}={x|（x-1）[x-（a-1）]=0}，又B⊆A，求出a的值，然后由A∪C=A，得C⊆A，則C中元素有以下三種情況，分別求出b的值，不符合題意的舍去，最后可得b的值．

解答 解：∵A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x|x²-ax+a-1=0}={x|（x-1）[x-（a-1）]=0}，
又∵B⊆A，∴a-1=1，或a-1=2，∴a=2，或a=3．
∵A∪C=A，∴C⊆A，則C中元素有以下三種情況：①若C=∅，即方程x²-bx+2=0無實(shí)根，∴△=b²-8＜0，∴$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$，
②若C={1}或{2}，即方程x²-bx+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴△=b²-8=0，∴b=±2$\sqrt{2}$，此時(shí)C={$\sqrt{2}$}或{-$\sqrt{2}$}不符合題意，舍去，
③若C={1，2}，則b=1+2=3，而兩根之積恰好為2．
綜上所述，a=2，或a=3，b=3或$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，考查了分類討論的思想方法，是中檔題．