Question

16．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（2，1），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程．
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由圓 $\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)θ可得圓的普通方程，直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（2，1），傾斜角為$\frac{π}{6}$，即可得出直線l的參數(shù)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的普通方程，整理，得：${t}^{2}+（\sqrt{3}-1）$t-14=0，可得|PA|•|PB|=|t₁•t₂||．

解答 解：（1）由圓   $\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)θ可得圓的普通方程為：（x-1）²+（y-2）²=16，
直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（2，1），傾斜角為$\frac{π}{6}$，可得：
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的普通方程，整理，得：${t}^{2}+（\sqrt{3}-1）$t-14=0，
設(shè)t₁，t₂是方程的兩根，∴t₁•t₂=-14．
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁•t₂||=14．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．