Question

6．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-θ）
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知直線l過點P（1，0）且與曲線C交于A，B兩點，若|PA|+|PB|=$\sqrt{5}$，求直線l的傾斜角α．

Answer 1

分析 （I）把極坐標方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標方程．
（Ⅱ）直線l過點P（1，0），參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程，利用韋達定理，根據(jù)|PA|+|PB|=$\sqrt{5}$，求直線l的傾斜角α．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-θ），即ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ）．
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）直線l過點P（1，0），參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程，可得t²-2tsinα-1=0，
設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=2sinα，t₁t₂=-1．
∴|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=$\sqrt{4si{n}^{2}α+4}$=$\sqrt{5}$，∴sinα=$\frac{1}{2}$（舍去負數(shù)），∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線的參數(shù)方程、參數(shù)的意義，屬于基礎題．