Question

16．設(shè)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，A，B兩點(diǎn)在拋物線上，且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，過AB的中點(diǎn)M作y軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，若|PF|=$\frac{3}{2}$，則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

Answer 1

分析 求出拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），由AB方程與拋物線方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出算出P的坐標(biāo)，根據(jù)|PF|=$\frac{3}{2}$，利用點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離公式解出k²=2，從而算出x₁+x₂=4，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∵過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，
∴設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），可得y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂），
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=k•$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$-2k=$\frac{4}{k}$，
得到y(tǒng)₀=$\frac{2}{k}$，所以x₀=$\frac{1}{{k}^{2}}$，可得M（$\frac{2}{k}$，$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
∵|PF|=$\frac{3}{2}$，
∴$\sqrt{（1-\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，解之得k²=2，
因此x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=4，
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)．利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，把線段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的問題