Question

2．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
①f（1）=0；  
②f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）；
③若f（2）=1，不等式f（x+2）-f（2x）＞2的解集為（0，$\frac{2}{7}$）；    
④f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
⑤f（$\frac{m+n}{2}$）≥$\frac{f（m）+f（n）}{2}$．
以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的定義，利用特殊值的方法可得出①②③④，根據(jù)函數(shù)的定義可知f（m）=f（$\sqrt{m}$）+f（$\sqrt{m}$），利用均值定理可得出結(jié)論．

解答 解：①令m=n=1，
∴f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，故正確；  
②f（m）=f（$\frac{m}{n}$×n）=f（$\frac{m}{n}$）+f（n）
∴f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n），故正確；
③∵f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n），
當(dāng)m＞n時(shí)，f（m）-f（n）=f（$\frac{m}{n}$）＞0，
故函數(shù)為增函數(shù)，
若f（2）=1，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x+2）-f（2x）＞2，
∴x的范圍為（0，$\frac{2}{7}$），故正確；    
④由上面可知，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；
⑤函數(shù)為增函數(shù)，
∴f（$\frac{m+n}{2}$）=f（$\frac{m}{2}$+$\frac{n}{2}$）≥f（$\sqrt{mn}$）=f（$\sqrt{m}$）+f（$\sqrt{n}$）=$\frac{f（m）+f（n）}{2}$，故正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)的定義，性質(zhì)和應(yīng)用，類比對(duì)數(shù)函數(shù)思考問(wèn)題．