Question

（2009•東營一模）對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f'（x）的導數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x₀為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內的一切實數(shù)x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（x₀，f（x₀））對稱．
已知f（x）=x³-3x²+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數(shù)G（x），使得它的“拐點”是（-1，3）（不要過程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“拐點”的定義求出f''（x）=0的根，然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點”A的坐標．
（2）由（1）知“拐點”坐標是（1，2），然后計算f（1+x）+f（1-x）可得等于2f（1），根據(jù)定義（2）可得結論，一般地，三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐點”是(-

b

3a

，f(-

b

3a

))，它就是f（x）的對稱中心．
（3）根據(jù)“拐點”的定義可寫出符合條件的三次函數(shù)．

解答：解：（1）依題意，得：f'（x）=3x²-6x+2，∴f''（x）=6x-6．…（2分）
由f''（x）=0，即6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐點”坐標是（1，2）．…（4分）
（2）由（1）知“拐點”坐標是（1，2）．
f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+2（1+x）+2+（1-x）³-3（1-x）²+2（1-x）+2=2+6x²-6-6x²+4+4=4=2f（1），
由定義（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2關于點（1，2）對稱．…（8分）
一般地，三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐點”是(-

b

3a

，f(-

b

3a

))，它就是f（x）的對稱中心．…（10分）
（或者：任何一個三次函數(shù)都有拐點；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)…）都可以給分
（3）G（x）=a（x+1）³+b（x+1）+3（a≠0）或寫出一個具體的函數(shù)，
如G（x）=x³+3x²+3x+4或G（x）=x³+3x²-x．…（12分）

點評：本題在函數(shù)、導數(shù)、方程的交匯處命題，具有較強的預測性，而且設問的方式具有較大的開放性，情景新穎，解題的關鍵是：深刻理解函數(shù)“拐點”的定義和函數(shù)圖象的對稱中心的意義．其本質是：任何一個三次函數(shù)都有拐點；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且任何一個三次函數(shù)的拐點就是它的對稱中心，即(-

b

3a

，f(-

b

3a

))．