Question

2．生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需要另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C（x）=$\frac{1}{360}{x^3}$+20x（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450（萬(wàn)元），通過(guò)市場(chǎng)分析，每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元時(shí)，該商品能全部售完．
（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷售額-成本）；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，生產(chǎn)該商品獲得的利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)槊考�商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬(wàn)元，推出當(dāng)0≤x＜80時(shí)，當(dāng)x≥80時(shí)，的函數(shù)的解析式即可．
（2）當(dāng)0≤x＜80時(shí)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果．

解答 解：（1）因?yàn)槊考�商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬(wàn)元，
依題意得，當(dāng)0≤x＜80時(shí)，$L（x）=（{0.05×1000x}）-\frac{1}{360}{x^3}-20x-250$=$-\frac{1}{360}{x^3}+30x-250$，
當(dāng)x≥80時(shí)，$L（x）=（{0.05×1000x}）-51x-\frac{10000}{x}+1450-250$=$1200-（{x+\frac{10000}{x}}）$．
$\begin{array}{l}即L（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{360}{x^3}+30x-2500≤x＜80\\ 1200-（{x+\frac{10000}{x}}）x≥80.\end{array}\right.\end{array}$…（8分）
（2）當(dāng)0≤x＜80時(shí)，$L（x）=-\frac{1}{360}{x^3}+30x-250$．
${L^′}（x）=-\frac{1}{120}{x^2}+30=0$，x=±60．
此時(shí)，當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950（萬(wàn)元）…（12分）
當(dāng)x≥80時(shí)，$L（x）=1200-（{x+\frac{10000}{x}}）≤1200-2\sqrt{x•\frac{10000}{x}}=1000$，…（14分）
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{10000}{x}$，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值1000（萬(wàn)元）．
因?yàn)?50＜1000，所以當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，生產(chǎn)該商品獲利潤(rùn)最大．
答：當(dāng)年產(chǎn)量為100 千件時(shí)，生產(chǎn)該商品獲利潤(rùn)最大．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，分段函數(shù)以及函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．