【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,an>0,且滿足an+12﹣an=an+1+an2(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)設(shè) (λ為正偶數(shù),n∈N*),是否存在確定λ的值,使得對(duì)任意n∈N* , 有Cn+1>Cn恒成立,若存在,求出λ的值,若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:由已知可得, ,且an>0,
∴an+1﹣an=1(n∈N*),且a2﹣a1=1.
∴數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列,
∴an=n+1
(2)解:由(1)知 ,
設(shè)它的前n項(xiàng)和為T(mén)n
∴Tn=221+322+…+(n+1)2n,
2Tn=222+323+…+(n+1)2n+1,
兩式相減可得:
所以
(3)解:∵an=n+1,∴ ,
要使Cn+1>Cn恒成立,
則 恒成立,
∴34n﹣λ2n+1>0恒成立,
∴λ<32n﹣1恒成立.
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),32n﹣1有最小值為3,∴λ<3.又λ為正偶數(shù),則λ=2.
即存在λ=2,使得對(duì)任意n∈N*,都有Cn+1>Cn
【解析】(1)將條件化簡(jiǎn)可得an+1﹣an=1,再由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,即可得到所求;(2)求得 ,再議數(shù)列的求和方法:錯(cuò)位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算即可得到所求和;(3)求得an=n+1, ,要使Cn+1>Cn恒成立,運(yùn)用作差法,再由參數(shù)分離,求得右邊的最小值即可得到所求范圍.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知﹣1,a1 , a2 , 8成等差數(shù)列,﹣1,b1 , b2 , b3 , ﹣4成等比數(shù)列,那么 的值為( )
A.﹣5
B.5
C.
D.
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【題目】(題類(lèi)A)以橢圓 +y2=1(a>1)短軸端點(diǎn)A(0,1)為直角頂點(diǎn),作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形,試判斷并推證能作出多少個(gè)符合條件的三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為( )
A.
B.1
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=loga(ax+1)+mx是偶函數(shù).
(1)求m;
(2)當(dāng)a>1時(shí),若函數(shù)f(x)的圖象與直線l:y=﹣mx+n無(wú)公共點(diǎn),求n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,∠APB=∠BPC=∠APC=90°,O在△ABC內(nèi),∠OPC=45°,∠OPA=60°,則∠OPB的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(1,2),A(x1 , y1),B(x2 , y2)均在拋物線上.
(1)求該拋物線方程;
(2)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣1),求直線AB方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)求證:當(dāng)a>ln2﹣1且x>0時(shí),ex>2x﹣2a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1, ),且離心率等于 . (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P(2,0)作直線PA,PB交橢圓于A,B兩點(diǎn),且滿足PA⊥PB,試判斷直線AB是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.
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