Question

已知平面上的線段l及點P，任取l上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d（P，l）．
（Ⅰ）求點P（1，1）到線段l：x-y-3=0，（3≤x≤5）的距離d（P，l）；
（Ⅱ）設l是長為2的線段，求點的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形面積；
（Ⅲ）寫出到兩條線段l₁，l₂距離相等的點的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，并在直角坐標系中作出相應的軌跡．其中l(wèi)₁=AB，l₂=CD，A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)d（P，l）的定義，結合兩點間的距離公式和二次函數(shù)的性質，即可算出的值d（P，l）．
（Ⅱ）d（P，AB）≤1，即Q在線段AB上時線段PQ長度的最小值不超過1，由此結合點A、B的坐標，利用距離公式即可化簡出所求圖形的邊界曲線方程，結合矩形面積與圓面積公式可得該圖形的面積；
（Ⅲ）根據(jù)所給的四個點的坐標，寫出兩條直線的方程，從直線方程中看出這兩條直線之間的平行關系，得到要求的結果．

解答： 解：（Ⅰ）設Q（x，x-3）是線段l：x-y-3=0（3≤x≤5）上一點，則
|PQ|=

(x-1)2+(x-4)2

=

2(x- 5 2 )2+ 9 2

，（3≤x≤5）
當x=3時，d（P，l）=|PQ|_最小值=

5

． 
（Ⅲ）點集D由如下曲線圍成

l₁：y=1（|x|≤1），l₂：y=-1（|x|≤1），
C₁：（x+1）²+y²=1（x≤-1），C₂：（x-1）²+y²=1（x≥1），
其面積為S=4+π． 
（Ⅲ）利用兩點式寫出兩條直線的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到兩條線段l₁，l₂距離相等的點的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，
根據(jù)兩條直線的方程可知兩條直線之間的關系是平行，
∴得到到兩條線段距離相等的點是y軸非負半軸，拋物線x=

1

4

y2（y≤0，0≤x≤1），直線y=-x-1（x＞1）．
如圖所示

點評：本題給出點P到線段l的距離的定義，求實際問題中的距離并討論相應的曲線方程．著重考查了點到直線的距離公式、二次函數(shù)的性質和曲線與方程的化簡等知識，屬于中檔題．