Question

20．在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，則$\frac{a+b}{c}$的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡(jiǎn)求得sinC的值進(jìn)而求得C，利用正弦定理將所求轉(zhuǎn)化為$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）即可求其最大值．

解答 解：∵bcosC+ccosB=csinA，
∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=1，C=$\frac{π}{2}$，
∴利用正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），
∴則$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）的最大值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．