Question

【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.

(1)求證:AB平面SAD；

(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值；

(3)點(diǎn)E,F分別為線段BC,SB上的一點(diǎn),若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) ； (3)1

【解析】

（1）通過證明，得線面垂直；

（2）結(jié)合第一問結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，即可得二面角的余弦值；

（3）根據(jù)面面平行關(guān)系得出點(diǎn)F的位置，即可得到體積.

(1)證明:在中,因?yàn)?/span>,

所以.

又因?yàn)椤?/span>DAB=900

所以,

因?yàn)?/span>

所以平面SAD.

(2)解:因?yàn)?/span> AD,,，

建立如圖直角坐標(biāo)系：

則A(0,0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).

平面SAB的法向量為.

設(shè)平面SDC的法向量為

所以有

即,

令，

所以平面SDC的法向量為

所以.

(3)因?yàn)槠矫?/span>AEF//平面SCD,

平面AEF平面ABCD=AE,平面SCD平面ABCD=CD,

所以,

平面AEF平面SBC=EF,平面SCD平面SBC=SC,

所以

由,AD//BC

得四邊形AEDC為平行四邊形.

所以E為BC中點(diǎn).

又,

所以F為SB中點(diǎn).

所以F到平面ABE的距離為,

又的面積為2,

所以.