【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.
(1)求證:AB平面SAD;
(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值;
(3)點E,F分別為線段BC,SB上的一點,若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.
【答案】(1) 見解析;(2) ; (3)1
【解析】
(1)通過證明,得線面垂直;
(2)結合第一問結論,建立空間直角坐標系,求出兩個平面的法向量,即可得二面角的余弦值;
(3)根據面面平行關系得出點F的位置,即可得到體積.
(1)證明:在中,因為,
所以.
又因為∠DAB=900
所以,
因為
所以平面SAD.
(2)解:因為 AD,,,
建立如圖直角坐標系:
則A(0,0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).
平面SAB的法向量為.
設平面SDC的法向量為
所以有
即,
令,
所以平面SDC的法向量為
所以.
(3)因為平面AEF//平面SCD,
平面AEF平面ABCD=AE,平面SCD平面ABCD=CD,
所以,
平面AEF平面SBC=EF,平面SCD平面SBC=SC,
所以
由,AD//BC
得四邊形AEDC為平行四邊形.
所以E為BC中點.
又,
所以F為SB中點.
所以F到平面ABE的距離為,
又的面積為2,
所以.
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【題目】已知a,b是不相等的兩個正數,在a,b之間插入兩組實數:x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,(n∈N*,且n≥2),使得a,x1,x2,…,xn,b成等差數列,a,y1,y2,…,yn,b成等比數列,給出下列四個式子:①;②;③;④.其中一定成立的是( 。
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形, 底面, , , , .
(1)求證:平面 平面;
(2)設為上的一點,滿足,若直線與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知數列{an}為等差數列,a1=1,前n項和為Sn,數列{bn}為等比數列,b1>1,公比為2,且b2S3=54,b3+S2=16.
(Ⅰ)求數列{an}與{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設數列{cn}滿足cn=an+bn,求數列{cn}的前n項和Tn.
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【題目】已知等比數列的首項,數列前項和記為,前項積記為.
(1) 若,求等比數列的公比;
(2) 在(1)的條件下,判斷與的大;并求為何值時,取得最大值;
(3) 在(1)的條件下,證明:若數列中的任意相鄰三項按從小到大排列,則總可以使其成等差數列;若所有這些等差數列的公差按從小到大的順序依次記為,則數列為等比數列.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,,點O為AD的中點,且.
(1)求證:平面PAD;
(2)若,求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.
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【題目】已知f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函數.
(1)求k的值;
(2)判斷函數y=f(x)-x在R上的單調性,并加以證明;
(3)設g(x)=log4(a2x-a),若函數f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個交點,求實數a的取值范圍.
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