Question

6．某工廠在2013年底投入100萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是1萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．設(shè)該工廠使用該設(shè)備x（x∈N^*）年的總費(fèi)用為y（萬(wàn)元）．
（1）將y表示成x的函數(shù)（總費(fèi)用=購(gòu)入費(fèi)用+運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用+維護(hù)費(fèi)用）；
（2）求該設(shè)備的最佳使用年限（即使用該設(shè)備年平均費(fèi)用最低的年限）．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，使用該設(shè)備x年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是x萬(wàn)元，且每年的維護(hù)費(fèi)是首項(xiàng)為2，公差也是2的等差數(shù)列，可得y=100+x+（2+4+6+…+2x）；
（2）求平均費(fèi)用$\frac{y}{x}=\frac{{{x^2}+2x+100}}{x}$=$x+\frac{100}{x}+2$，構(gòu)造函數(shù)$設(shè)g（x）=x+\frac{100}{x}+2（x＞0）$，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的極值，進(jìn)而求出x值．

解答 解：（Ⅰ）該工廠使用該設(shè)備x年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是x萬(wàn)元，且每年的維護(hù)費(fèi)是首項(xiàng)為2，公差也是2的等差數(shù)列．所以該工廠使用該設(shè)備的總費(fèi)用為：y=100+x+（2+4+6+…+2x）=$100+x+\frac{x（2+2x）}{2}$=x²+2x+100（x∈N^*）
（Ⅱ）使用該設(shè)備年平均費(fèi)用$\frac{y}{x}=\frac{{{x^2}+2x+100}}{x}$=$x+\frac{100}{x}+2$.$設(shè)g（x）=x+\frac{100}{x}+2（x＞0）$，則$g'（x）=1-\frac{100}{x^2}=\frac{（x+10）（x-10）}{x^2}$．
令g'（x）=0，得x=10（負(fù)值舍去）．
從而，當(dāng)0＜x＜10時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x＞10時(shí)，g'（x）＞0．
所以，g（x）在（0，10）上遞減，在（10，+∞）上遞增．當(dāng)x=10時(shí)，g（x）有最小值．
即該設(shè)備使用年限是10年時(shí)，年平均費(fèi)用最低，所以該設(shè)備的最佳使用年限是10年．
另法：使用該設(shè)備年平均費(fèi)用$\frac{y}{x}=\frac{{{x^2}+2x+100}}{x}$=$x+\frac{100}{x}+2$≥$2\sqrt{x•\frac{100}{x}}+2=22$（萬(wàn)元）
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{100}{x}$，即x=10時(shí)取等號(hào)．
即該設(shè)備使用年限是10年時(shí)，年平均費(fèi)用最低，所以該設(shè)備的最佳使用年限是10年．

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，難點(diǎn)是理解題意，正確列出表達(dá)式．