【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（3）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值和最大值.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）最小值為，最大值為

【解析】

（1）利用定義法證明是偶函數(shù)，注意定義域的分析；

（2）利用定義法證明在上單調(diào)遞減，注意函數(shù)單調(diào)性的證明步驟；

（3）根據(jù)的單調(diào)性、奇偶性確定出在上的最值.

（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

又因?yàn)?/span>，

故根據(jù)偶函數(shù)的定義可知，函數(shù)是偶函數(shù).

（2）任取，且設(shè)，則

.

又由，得，所以；

易知，

所以，所以.

于是，可得，

即.

故根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（3）根據(jù)（1）、（2）知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

據(jù)此易得函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值為，最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.

(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂活動(dòng)場(chǎng)所，現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示，已知：米，米，擬在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路、和，要求點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊時(shí)上，且.

（1）設(shè)，試求的周長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；

（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為進(jìn)一步貫徹落實(shí)“十九”大精神，某高校組織了“歌頌祖國(guó)，緊跟黨走”為主題的黨史知識(shí)競(jìng)賽,從參加競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將其成績(jī)分為六段，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中的值；

（2）若從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>與兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性 ；

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求

的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的圖像在處的切線方程為：

（1）求的值；

（2）若，成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，與均為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，平面平面CBE，點(diǎn)O是BE的中點(diǎn)。

（1）求證：；

（2）求直線AB與平面ACE所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ex-e-x．

（1）判斷此函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）判斷此函數(shù)的單調(diào)性（不需要證明）；

（3）求不等式f（2x-1）+f（-3）＜0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象.

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）把函數(shù)的圖象的周期擴(kuò)大為原來的兩倍，然后向右平移個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的兩倍，最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.若對(duì)任意的，方程在區(qū)間上至多有一個(gè)解，求正數(shù)的取值范圍.

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