Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cosωx，g（x）=sin（ωx-

π

3

）ω＞0），且g（x）的最小正周期為π．
（Ⅰ）若f（a）=

6

2

，a∈[-π，π]，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)g（x）的最小正周期為π，可以求得ω的值，從而得到f（x）的解析式，利用f（a）=

6

2

可以求得α的取值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）+g（x）運(yùn)用兩角和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，從而得到 y=sin（2x+

π

3

），將2x+

π

3

看作一個(gè)整體，運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）解：因?yàn)間（x）=sin（ωx-

π

3

）的最小正周期π，
∴

2π

|ω|

=π，解得ω=2，
由f（α）=

6

2

，得

3

cos2α=

6

2

，
即cos2α=

2

2

，
∴2α=2kπ±

π

4

，k∈Z，
∵α∈[-π，π]，
∴α∈{-

7π

8

，-

π

8

，

π

8

，

7π

8

}；
（Ⅱ）函數(shù) y=f（x）+g（x）=

3

cos2x+sin(2x-

π

3

)
=

3

cos2x+sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
所以函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角恒等變換，主要考查了三角函數(shù)的兩角和差公式，考查了三角函數(shù)求值問題，若是求角，則必須先確定的角的范圍再?zèng)Q定角的值．形如y=Asin（ωx+φ）形式的性質(zhì)問題，一般都是用整體代換的思想，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．