Question

15．傾角為$\frac{π}{3}$的直線l過拋物線y²=4x的焦點F與拋物線交于A、B兩點，點C是拋物線準線上的動點．
（1）△ABC能否為正三角形？
（2）若△ABC是鈍角三角形，求點C縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定A，B的坐標(biāo)，利用△ABC為正三角形，分類討論，即可得出結(jié)論；
（2）若△ABC是鈍角三角形，分類討論，利用數(shù)量積運算，即可求點C縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（1）直線l方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
由y²=4x可得A（3，2$\sqrt{3}$），B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）…（2分）
若△ABC為正三角形，則∠CAB=$\frac{π}{3}$，
由∠AFx=$\frac{π}{3}$，那么CA與x軸平行，此時|AC|=4…（4分）
又|AB|=3+$\frac{1}{3}$+2=$\frac{16}{3}$．
與|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC不可能是正三角形…（6分）
（2）設(shè)C（-1，m），則$\overrightarrow{CA}$=（4，2$\sqrt{3}$-m），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-m），
$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²不可以為負，所以∠ACB不為鈍角…（9分）
若∠CAB為鈍角，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$＜0，$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{8}{3}$，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），
則$\frac{32}{3}$+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（2$\sqrt{3}$-m）＜0，得m＞$\frac{10\sqrt{3}}{3}$…（11分）
若角∠ABC為鈍角，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$＜0且C、B、A不共線．
可得m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$且m≠-6$\sqrt{3}$…（13分）
綜上知，C點縱坐標(biāo)的取值范圍是m＞$\frac{10\sqrt{3}}{3}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$且m≠-6$\sqrt{3}$…（14分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．