Question

已知函數(shù)log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）在區(qū)間（-

1

2

，0）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  3

  4

  ]
• B、（

  3

  4

  ，+∞）
• C、[

  3

  4

  ，2）
• D、[

  3

  4

  ，2]

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知得t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是減函數(shù)，設(shè)h（x）=x³-ax-a+2，則h′（x）=3x²-a，由此求出a≥

3

4

；又在函數(shù)log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）中，t=x³-ax-a+2＞0，從而在（-

1

2

，0）內(nèi)，t＞t（0）=-a+2≥0，由此能求出a的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）在區(qū)間（-

1

2

，0）上為增函數(shù)，
g（t）=log 

1

2

t是減函數(shù)，
∴t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是減函數(shù)，
設(shè)h（x）=x³-ax-a+2，則h′（x）=3x²-a，
由h′（x）=3x²-a＜0，得-

3a

3

＜x＜

3a

3

，
∵t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是減函數(shù)，
∴

- 3a 3 ≤- 1 2 3a 3 ≥0

，解得a≥

3

4

，
在函數(shù)log

1

2

(x3-ax-a+2)（a＞0）中，
t=x³-ax-a+2＞0，
∵t=x³-ax-a+2在（-

1

2

，0）上是減函數(shù)，
∴在（-

1

2

，0）內(nèi)，t＞t（0）=-a+2≥0，
∴a≤2，
綜上所述，a∈[

3

4

，2]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．