Question

20．無(wú)窮數(shù)列{a_n}由k個(gè)不同的數(shù)組成，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，則k的最大值為4．

Answer 1

分析 對(duì)任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，列舉出n=1，2，3，4的情況，歸納可得n＞4后都為0或1或-1，則k的最大個(gè)數(shù)為4．

解答 解：對(duì)任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，可得
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2或3；
若n=2，由S₂∈{2，3}，可得數(shù)列的前兩項(xiàng)為2，0；或2，1；或3，0；或3，-1；
若n=3，由S₃∈{2，3}，可得數(shù)列的前三項(xiàng)為2，0，0；或2，0，1；
或2，1，0；或2，1，-1；或3，0，0；或3，0，-1；或3，1，0；或3，1，-1；
若n=4，由S₃∈{2，3}，可得數(shù)列的前四項(xiàng)為2，0，0，0；或2，0，0，1；
或2，0，1，0；或2，0，1，-1；或2，1，0，0；或2，1，0，-1；
或2，1，-1，0；或2，1，-1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，-1；
或3，0，-1，0；或3，0，-1，1；或3，-1，0，0；或3，-1，0，1；
或3，-1，1，0；或3，-1，1，-1；
…
即有n＞4后一項(xiàng)都為0或1或-1，則k的最大個(gè)數(shù)為4，
不同的四個(gè)數(shù)均為2，0，1，-1，或3，0，1，-1．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與集合的關(guān)系，考查分類(lèi)討論思想方法，注意運(yùn)用歸納思想，屬于中檔題．