Question

11．四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側(cè)棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥平面PAD？證明你的結(jié)論；
（2）求證：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)Q為側(cè)棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．取PD的中點E，連AE、EQ．只需證明平面PAD外的直線BQ平行于平面PAD內(nèi)的直線AE，即可．
（2）要證平面PBC⊥平面PCD，只需證明AE垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線CD、PD，BQ∥AE，BQ?平面PBC即可．

解答 （1）解：當(dāng)Q為側(cè)棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．
證明如下：如圖，取PD的中點E，連AE、EQ．
∵Q為PC中點，則EQ為△PCD的中位線，
∴EQ∥CD且EQ=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD且AB=$\frac{1}{2}$CD，∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四邊形ABQE為平行四邊形，則BQ∥AE．
∵BQ?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．

點評 本題主要考查四棱錐的有關(guān)知識，涉及線面、面面位置關(guān)系的判定與證明，綜合考查空間想象能力和分析、解決問題的能力．