Question

8．給出下判命題．
①命題“存在x＞0，使sinx≤x”的否定是“對任意x＞0，sinx＞x”
②函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π））的最小值是2$\sqrt{2}$
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形
④若直線m∥直線n，直線m∥平面α，那么直線n∥平面α．
其中正確的命題是①③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)含有量詞的命題的否定進行判斷．
②根據(jù)基本不等式成立的條件進行判斷．
③根據(jù)三角函數(shù)值的關(guān)系以及誘導(dǎo)公式進行判斷．
④根據(jù)線面平行的判定定理進行判斷即可．

解答 解：①命題“存在x＞0，使sinx≤x”的否定是“對任意x＞0，sinx＞x”，正確，故①正確，
②∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
則函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{2}{sinx}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當sinx=$\frac{2}{sinx}$，即sin²x=2，即sinx=$\sqrt{2}$取等號，
但sinx∈（0，1]，故等號取不到，故函數(shù)的最小值不是2$\sqrt{2}$，故②錯誤，
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC是等腰或直角三角形，故③正確，
④若直線m∥直線n，直線m∥平面α，那么直線n∥平面α或n?α．故④錯誤，
故答案為：①③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及含有量詞的命題的否定，基本不等式，三角函數(shù)的運算以及線面平行的判斷，知識點較多，難度不大．