Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，已知點(diǎn)A（0，-2）與橢圓右頂點(diǎn)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，且直線AF的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)C，D（C在第一象限）都在橢圓Γ上，點(diǎn)B為橢圓Γ的右頂點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{DB}$，且$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由對(duì)稱和直線的斜率公式，推導(dǎo)出a=2，c=$\sqrt{3}$，由此能求出橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y=kx，直線DB方程為y=k（x-2），分別代入橢圓方程x²+4y²=4，由$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，求出k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{DB}$，能求出實(shí)數(shù)λ的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），右頂點(diǎn)為（a，0），
由點(diǎn)A（0，-2）與橢圓右頂點(diǎn)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，可得
$\frac{2}{a}$=1，解得a=2，
由直線AF的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得$\frac{2}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得c=$\sqrt{3}$，
即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y=kx，
代入橢圓方程x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²=4，∴x_C=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴C（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
又直線DB方程為y=k（x-2），代入橢圓方程x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，
∵x_B=2，∴x_D=$\frac{2（4{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，
∴$\frac{2（4{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$+$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=0，
∴k²=$\frac{1}{2}$，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
$\overrightarrow{DB}$=（2-$\frac{2（4{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，0-$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）=（$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），
由$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{DB}$，得λ=$\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，
∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查向量共線定理和坐標(biāo)表示，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)運(yùn)算，注意推理論證能力的培養(yǎng)．