Question

20．在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c且滿足asinB=b，則當$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值時，cosB的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知可得：sinAsinB=sinB，結(jié)合sinB≠0，可得：sinA=1，可得：A=$\frac{π}{2}$，B，C為銳角，由于$\sqrt{2}$sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+φ），其中，sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tanφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得當$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值時，得：B=2k$π+\frac{π}{2}$-φ，k∈Z，利用誘導公式可求cosB的值．

解答 解：在△ABC中，∵asinB=b，由正弦定理可得：sinAsinB=sinB，B∈（0，π），
∴sinB≠0，可得：sinA=1，
∴結(jié)合A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{2}$，B，C為銳角．
∴$\sqrt{2}$sinB+sinC=$\sqrt{2}$sinB+sin（$\frac{π}{2}$-B）=$\sqrt{2}$sinB+cosB=$\sqrt{3}$sin（B+φ），其中，sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tanφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴當$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值時，有：sin（B+φ）=1，可得：B+φ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：B=2k$π+\frac{π}{2}$-φ，k∈Z，
∴cosB=cos（2k$π+\frac{π}{2}$-φ）=sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，誘導公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．