Question

11．在△ABC中，$\overrightarrow{m}$=（2a-c，cosC），$\overrightarrow{n}$=（b，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大��；
（2）若b=1，當(dāng)△ABC面積取最大時(shí)，求△ABC內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$可得（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理化簡(jiǎn)可得2sinAcosB=sinA，利用A，B為三角形內(nèi)角，即可解得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式及已知B=$\frac{π}{3}$，b=1可解得ac≤1，利用三角形面積公式可得當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)S_△ABC最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此時(shí)三角形為等邊三角形，即可求得其內(nèi)切圓的半徑．

解答 解：（Ⅰ）∵由已知可得（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C），
∴cosB=$\frac{1}{2}$，B為三角形內(nèi)角，
∴B=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）由（1）得B=$\frac{π}{3}$，又b=1，△ABC中b²=a²+c²-2accosB得b²=a²+c²-ac即1+3ac=（a+c）²，
又因?yàn)椋╝+c）²≥4ac．得1+3ac≥4ac即ac≤1．
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)S_△ABC最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
此時(shí)由S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，考查了平面向量及其應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．