Question

7．已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+a|x-1|≥1（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集是R，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，可得2|x-1|≥1，即|x-1|≥$\frac{1}{2}$，由此求得不等式的解集．
（2）不等式|ax-1|+|ax-a|≥1解集為R，等價(jià)于|a-1|≥1，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，可得2|x-1|≥1，即|x-1|≥$\frac{1}{2}$，解得x-1≥$\frac{1}{2}$或x-1≤-$\frac{1}{2}$，∴x≥$\frac{3}{2}$或x≤-$\frac{1}{2}$
∴不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．  …（5分）
（2）∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，不等式|ax-1|+|ax-a|≥1解集為R，等價(jià)于|a-1|≥1．
解得a≥2，或a≤0．    又∵a＞0，∴a≥2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．   …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．