Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2016π），則函數(shù)f（x）的各極大值之和為（　　）

• A． $\frac{{{e^π}（1-{e^{2017π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• B． $\frac{{{e^π}（1-{e^{1009π}}）}}{{1-{e^π}}}$
• C． $\frac{{{e^π}（1-{e^{1008π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• D． $\frac{{{e^π}（1-{e^{2016π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$

Answer 1

分析 先求f′（x）=2e^xsinx，這樣即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f（2015π）為f（x）的極大值，并且構(gòu)成以e^π為首項(xiàng)，e^2π為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求f（x）的各極大值之和即可．

解答 解：：∵函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=[e^x（sinx-cosx）]′=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx；
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；
∴當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+π時，f′（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+2π時，f′（x）＜0，原函數(shù)單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=2kπ+π時，函數(shù)f（x）取得極大值，
此時f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π；
又∵0≤x≤2016π，∴0和2016π都不是極值點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和為：
e^π+e^3π+e^5π+…+e^2015π=$\frac{{e}^{π}（1{-e}^{2016π}）}{1{-e}^{2π}}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查極大值的定義，正弦、余弦，和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，以及等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．