Question

等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q（q≠-1），用S_n→m表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)到第m項(xiàng)共m-n+1項(xiàng)的和．
（Ⅰ）計(jì)算S_1→3，S_4→6，S_7→9，并證明它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列；
（Ⅱ）受上面（Ⅰ）的啟發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)信息的要求分別求出結(jié)論中的每一項(xiàng)的值，最后證得結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)第一問的結(jié)論，先進(jìn)行猜想，然后采用同樣的方法進(jìn)行證明．

解答： 解：（Ⅰ）等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q（q≠-1），用S_n→m表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)到第m項(xiàng)共m-n+1項(xiàng)的和則：S13=a₁+a₂+a₃=a1(1+q+q2)  S46=a₄+a₅+a₆=a4(1+q+q2)  S79=a₇+a₈+a₉
=a7(1+q+q2)
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q則：a_ma_n=a_pa_q
所以：a42=a1a7
S13•S79=S462 
即：S_1→3，S_4→6，S_7→9，它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列．
（Ⅱ）S0m，Sm2m，S2m3m仍成等比數(shù)列
S0m=a₁+a₂+…+a_m=a1(1+q+…+qm-1)
Sm2m=a_m+1+a_m+2+…+a_2m=am+1(1+q+…+qm-1)
S2m3m=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m=a2m+1(1+q+…+qm-1)
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q則：a_ma_n=a_pa_q
則：a_m+12=a₁a_2m+1
所以：Sm2m2=S0m•S2m3m

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和．