Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{ωx}{2}$，2cos$\frac{ωx}{2}$），（ω＞0），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）代入向量數(shù)量積公式，易得到函數(shù)的解析式，根據(jù)f（x）的最小正周期為π，易得到ω的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性的確定方法，即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{ωx}{2}$，2cos$\frac{ωx}{2}$），（ω＞0），
則函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos²$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$•cos$\frac{ωx}{2}$=cosωx+1+$\sqrt{3}$sinωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
∵f（x）的最小正周期為π，
∴π=$\frac{2π}{ω}$．解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題考查的知識點是正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期性及其求法，其中根據(jù)已知條件結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算公式，得到函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．