Question

在等比數(shù)列{a_n}中，公比q≠1，等差數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

40

81

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件求出公差和公比，即可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，解不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

40

81

，即可求出成立的最小正整數(shù)n的值．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，等差數(shù)列{b_n}的公差為d．
由已知得，a₂=3q，a₃=3q²，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
所以

3q=3+3d 3q2=3+12d

，即

q=1+d q2=1+4d

，
解得q=3或q=1（舍去），所以d=2．
所以a_n=3ⁿ，b_n=2n+1．
（2）因?yàn)閍_n=3ⁿ，所以

1

an

=

1

3n

，
所以{

1

an

}是等比數(shù)列，公比q=

1

3

，
則

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

），
不等式化為

1

2

（1-

1

3n

）＞

40

81

，即

1

3n

＜

1

81

，
即3ⁿ＞81，解得n＞4，
所以，最小正整數(shù)n的值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及等比數(shù)列的求和，要求熟練掌握相應(yīng)的公式是解決本題的關(guān)鍵．