Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是A₁C上的點(diǎn)．
（1）求異面直線AE與A₁C所成角θ的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；
（2）若EF⊥A₁C，求線段CF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取B₁C₁的中點(diǎn)E₁，連A₁E₁，則A₁E₁∥AE，即∠CA₁E₁即為異面直線AE與A₁C所成的角θ，連結(jié)E₁C，解三角形可得異面直線AE與A₁C所成角θ的大小，
（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CF的長(zhǎng)為x，根據(jù)EF⊥A₁C，對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程可得線段CF的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）取B₁C₁的中點(diǎn)E₁，連A₁E₁，則A₁E₁∥AE，
即∠CA₁E₁即為異面直線AE與A₁C所成的角θ．…（2分）
連結(jié)E₁C．
在Rt△E₁C₁C中，由E1C1=

2

2

，CC₁=2
知A1C=

1 2 +4

=

3 2

2

在Rt△A₁C₁C中，由A₁C₁=1，CC₁=2知A1C=

5

…（4分）
在△A₁E₁C中，cosθ=

( 2 2 )2+( 5 )2-( 3 2 2 )2

2• 2 2 • 5

=

1

10

=

10

10

∴θ=arccos

10

10

…（6分）
（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CF的長(zhǎng)為x
則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，E(

1

2

，

1

2

，0)，F(0，1-

5

5

x，

2 5

5

x)，A₁（0，0，2），C（0，1，0）…（2分）
∴

EF

=(-

1

2

，

1

2

-

5

5

x，

2 5

5

x)，

A1C

=(0，1，-2)
由EF⊥A₁C知

EF

•

A1C

=0…（4分）
即

1

2

-

5

5

x-2•

2 5

5

x=0，解得x=

5

10

∴線段CF的長(zhǎng)為

5

10

…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，空間向量垂直，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．