Question

2．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-2≥0\\ x-y+1≥0\\ 2x+y-4≤0\end{array}\right.$，z=x-2y，則z的取值范圍是[-3，2]．

Answer 1

分析 先作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x-2y可得，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，則-$\frac{1}{2}$z表示直線x-2y-z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小，結(jié)合函數(shù)的圖形可求z的最大與最小值，從而可求z的范圍

解答 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域：
由z=x-2y可得，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，則-$\frac{1}{2}$z表示直線x-2y-z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小
結(jié)合函數(shù)的圖形可知，當(dāng)直線x-2y-z=0平移到B時(shí)，截距最大，z最��；當(dāng)直線x-2y-z=0平移到A時(shí)，截距最小，z最大
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$可得B（1，2），由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，
可得A（2，0）
∴Z_max=2，Z_min=-3
則z=x-2y∈[-3，2]
故答案為：[-3，2]．

點(diǎn)評(píng) 平面區(qū)域的范圍問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．