Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+2}$-k|x|（{k∈R}）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由題意畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：如圖，
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+2}$-k|x|的零點(diǎn)，就是方程$\frac{1}{x+2}$-k|x|=0的根，
也就是函數(shù)$y=\frac{1}{x+2}$與函數(shù)$y=k|x|=\left\{\begin{array}{l}{kx，x≥0}\\{-kx，x＜0}\end{array}\right.$圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
若k=0，則y=k|x|=0，函數(shù)$y=\frac{1}{x+2}$與y=0無(wú)交點(diǎn)；
若k＜0，則當(dāng)x＞0時(shí)，y=kx與$y=\frac{1}{x+2}$無(wú)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)k＞0時(shí)，y=kx與$y=\frac{1}{x+2}$右支有一個(gè)交點(diǎn)，
再由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x+2}}\\{y=-kx}\end{array}\right.$，得kx²+2kx+1=0，由△=4k²-4k=0，得k=1．
由圖可知，當(dāng)k＞1時(shí)y=-kx與$y=\frac{1}{x+2}$左支有兩個(gè)交點(diǎn)．
∴使函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+2}$-k|x|（{k∈R}）有三個(gè)不同的零點(diǎn)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)和方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．