Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

mx

1+|x|

（其中|m|＞1），區(qū)間M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M）}，則使M=N成立的實對數(shù)（a，b）有

 

對．

Answer 1

考點：集合的相等

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,集合

分析：先判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，進而從認知集合切入．這里的集合N為函數(shù)f（x），（x∈M）的值域．注意到f（x）的表達式中含有|x|，為求f（x）的值域，先將f（x）化為分段函數(shù)的形式，以便于化整為零，逐段分析．最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=

mx

1+|x|

（x∈R） 可得f（-x）=

-mx

1+|-x|

=-

mx

1+|x|

=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當x=0時，f（0）=0，
當x≠0時，f（x）=

m

|x| x + 1 x

，
當m＜-1時，
若x＞0，f（x）=

m

1+ 1 x

為減函數(shù)，若x＞0，f（x）=

m

-1+ 1 x

為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上為減函數(shù)，
若M=N，則f（a）=b，且f（b）=a，
由點（a，b）與點（b，a）關(guān)于y=x對稱，則a＜0＜b，
∴f（-a）=-f（a）=-b，
若b＜-a，則f（b）＞f（-a），a＞-b，-a＜b矛盾，
若b＞-a，則f（b）＜f（-a），a＜-b，-a＞b矛盾，
故b=-a，
x＞0時，f（x）=-x，即

m

1+ 1 x

=-x，解得x=-1-m＞0，
x＜0時，f（x）=-x，即

m

-1+ 1 x

=-x，解得x=1+m＜0，
故M=[1+m，-1-m]，
當m＞1時，
若x＞0，f（x）=

m

1+ 1 x

為增函數(shù)，若x＞0，f（x）=

m

-1+ 1 x

為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上為增函數(shù)，
若M=N，則f（a）=a，且f（b）=b，
x＞0時，f（x）=x，即

m

1+ 1 x

=x，解得x=-1+m，
x＜0時，f（x）=x，即

m

-1+ 1 x

=x，解得x=1-m，
x=0時，f（0）=0，
故M=[1-m，0]，或M=[1-m，m-1]，或M=[0，m-1]
綜上所述，當m＜-1時，使M=N成立的實對數(shù)（a，b）有1對，
當m＞1時，使M=N成立的實對數(shù)（a，b）有3對．
故答案為：1或3

點評：解決分段函數(shù)問題的基本策略：分段考察，綜合結(jié)論．在這里，認知集合N仍是解題成敗的關(guān)鍵所在．