Question

已知實數(shù)a滿足0＜a＜2，直線l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形．
（1）求證：無論實數(shù)a如何變化，直線l₁、l₂必過定點；
（2）求證：無論實數(shù)a如何變化，直線l₁都不經(jīng)過第四象限；
（3）若圍成的四邊形有外接圓，求實數(shù)a的值；
（4）實數(shù)a取何值時，所圍成的四邊形面積最��？

Answer 1

考點：過兩條直線交點的直線系方程

專題：直線與圓

分析：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0，得a（x-2）-2y+4=0，由l₂：2x+a²y-2a²-4=0變形，得a²（y-2）+2x-4=0，由此能證明無論實數(shù)a如何變化，直線l₁、l₂必過定點（2，2）．
（2）在直線l₁：ax-2y-2a+4=0中，當(dāng)x=0，y=0時，4-2a＞0恒成立，由此能證明直線l₁不過第四象限．
（3）若圍成的四邊形有外接圓，則直線l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0垂直，由此能求出a=0或a=1．
（4）直線l₁與y軸交點為A（0，2-a），直線l₂與x軸交點為B（a²+2，0），直線l₁也過定點C（2，2），過C點作x軸垂線，垂足為D，S_{四邊形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD，由此能求出當(dāng)a=

1

2

時，所圍成的四邊形面積最小，面積的最小值為

15

4

．

解答：（1）證明：由直線l₁：ax-2y-2a+4=0，得a（x-2）-2y+4=0，
∴當(dāng)x=2時，y=2，即直線l₁過定點（2，2），
由直線l₂：2x+a²y-2a²-4=0變形，得a²（y-2）+2x-4=0，
∴當(dāng)y=2時，x=2．即直線l₂過定點（2，2），
∴無論實數(shù)a如何變化，直線l₁、l₂必過定點（2，2）．
（2）證明：在直線l₁：ax-2y-2a+4=0中，
當(dāng)x=0，y=0時，
∵0＜a＜2，
∴4-2a＞0恒成立，
∴直線l₁不過第四象限．
（3）解：由圖形知∠AOB=90°，
∴若圍成的四邊形有外接圓，則直線l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0垂直，
∴2a-2a²=0，
解得a=0或a=1．
（4）解：直線l₁與y軸交點為A（0，2-a），直線l₂與x軸交點為B（a²+2，0），如圖，
由直線l₁：ax-2y-2a+4=0知，直線l₁也過定點C（2，2），
過C點作x軸垂線，垂足為D，于是
S_{四邊形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=

1

2

a²•2+

1

2

（2-a+2）•2
=a²-a+4，
∴當(dāng)a=

1

2

時，S_{四邊形AOBC}最�。�
故當(dāng)a=

1

2

時，所圍成的四邊形面積最小，面積的最小值為

15

4

．

點評：本題考查無論實數(shù)a如何變化，直線l₁、l₂必過定點的證明，考查無論實數(shù)a如何變化，直線l₁都不經(jīng)過第四象限的證明，考查圍成的四邊形有外接圓，實數(shù)a的值的求法，考查實數(shù)a取何值時，所圍成的四邊形面積最小的求法，是中檔題，解題時要注意直線方程與圓的性質(zhì)的合理運用．