Question

曲線 y=

1

x

（x＞0）在點 P（x₀，y₀）處的切線為l．若直線l與x，y軸的交點分別為A，B，則△OAB的
周長的最小值為（　　）

• A、4+2

  2

• B、2

  2

• C、2
• D、5+2

  7

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)求出函數(shù)y=

1

x

（x＞0）在點 P（x₀，y₀）處的切線方程，得到直線在兩坐標軸上的截距，由勾股定理求得第三邊，作和后利用基本不等式求最值．

解答：解：由y=

1

x

，得y′=-

1

x2

，
則y′|x=x0=-

1

x02

，
∴曲線 y=

1

x

（x＞0）在點 P（x₀，y₀）處的切線方程為：y-

1

x0

=-

1

x02

（x-x₀）．
整理得：x+x02y-2x0=0．
取y=0，得：x=2x₀，取x=0，得y=

2

x0

．
∴|AB|=

4x02+ 4 x02

=2

x02+ 1 x02

．
∴△OAB的周長為|2x0|+|

2

x0

|+2

x02+ 1 x02

=2(x0+

1

x0

)+2

x02+ 1 x02

（x₀＞0）
≥2×2

x0• 1 x0

+2

2x0• 1 x0

=4+2

2

．
當且僅當x₀=1時上式等號成立．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．