Question

【題目】如圖，已知?jiǎng)又本�過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)．

（1）若直線的斜率為，求的面積；

（2）若直線的斜率為，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）是否存在一個(gè)定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），對(duì)于任意不與軸重合的直線，都有平分，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：

(1)利用題意分別求得距離和弦長(zhǎng)可得；

(2)利用題意得到關(guān)于縱坐標(biāo)y的函數(shù)，結(jié)合定義域可得的取值范圍是.

(3)聯(lián)立直線和圓的方程，結(jié)合對(duì)稱性可得點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為 .

試題解析：

解：（1）因?yàn)橹本�的斜率為，所以直線 ，

則點(diǎn)到直線的距離，

所以弦的長(zhǎng)度，

所以.

（2）因?yàn)橹本�的斜率為，所以可知、，

設(shè)點(diǎn)，則，

又，

所以，又，

所以的取值范圍是.

（3）法一： 若存在，則根據(jù)對(duì)稱性可知，定點(diǎn)在軸上，設(shè)、又設(shè)、，

因直線不與軸重合，設(shè)直線 ，

代入圓得，

所以（*）

若平分，則根據(jù)角平分線的定義，與的斜率互為相反數(shù)

有，又，，

化簡(jiǎn)可得，

代入（*）式得，因?yàn)橹本�任意，故，

即， 即

解法二:若存在，則根據(jù)對(duì)稱性可知，定點(diǎn)在軸上，設(shè)、又設(shè)、，

因直線不與軸重合，設(shè)直線 ，

代入圓得，

所以（*）

若平分，則根據(jù)角平分線的幾何意義，點(diǎn)到軸的距離，點(diǎn)到軸的距離滿足，即，

化簡(jiǎn)可得，

代入（*）式得，因?yàn)橹本�任意，故，

即， 即