【題目】已知函數(shù)
(1)若,證明;
(2)若,求的取值范圍;并證明此時(shí)的極值存在且與無關(guān).
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:
(1)利用題意求解導(dǎo)函數(shù),求解 得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,求解 得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,由 可以得出結(jié)論;
(2)將 變形為,構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù) 的取值范圍;分類討論 和兩種情況即可證明此時(shí)的極值存在且與無關(guān).
試題解析:
(1)若
當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增
所以,得證
(1)若,變形得到,
令,得到
,令,可得在單增,在單減,所以,
在單減,當(dāng)所以,∴
(注:若令),得到
令,
,所以在單減,在單增,所以,
即在單增,當(dāng)所以,∴
下面再證明的極值存在且與無關(guān):
①,
與無關(guān).
②
(其中)所以且在處取極小值
因?yàn)?/span>,∴是關(guān)于的函數(shù)(與無關(guān)),
所以也是關(guān)于的函數(shù)(與無關(guān)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了該農(nóng)產(chǎn)品.以()表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量, (單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.
(Ⅰ)將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于57000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知?jiǎng)又本過點(diǎn),且與圓交于、兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率為,求的面積;
(2)若直線的斜率為,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),求的取值范圍;
(3)是否存在一個(gè)定點(diǎn)(不同于點(diǎn)),對(duì)于任意不與軸重合的直線,都有平分,若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓 的上、下頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓上,且異于點(diǎn)A,B,直線AP,BP與直線 分別交于點(diǎn)M,N,
(1)設(shè)直線AP,BP的斜率分別為 ,求證: 為定值;
(2)求線段MN的長的最小值;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x﹣2y﹣5=0.求:
(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2, .M,N分別為BC和CC1的中點(diǎn),P為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)若P為線段BB1的中點(diǎn),求證:A1N∥平面APM;
(3)試判斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,若acosA﹣bcosB=0,則三角形的形狀是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】京劇是我國的國粹,是“國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”,某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)絡(luò)上調(diào)查發(fā)現(xiàn)各地京劇票友的年齡服從正態(tài)分布同時(shí)隨機(jī)抽取位參與某電視臺(tái)《我愛京劇》節(jié)目的票友的年齡作為樣本進(jìn)行分析研究(全部票友的年齡都在內(nèi)),樣本數(shù)據(jù)分別區(qū)間為由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ) 若求的值;
(Ⅱ)現(xiàn)從樣本年齡在的票友中組織了一次有關(guān)京劇知識(shí)的問答,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)贏得一臺(tái)老年戲曲演唱機(jī),答錯(cuò)沒有獎(jiǎng)品,假設(shè)每人答對(duì)的概率均為,且每個(gè)人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示票友們贏得老年戲曲演唱機(jī)的臺(tái)數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , , 為線段上的點(diǎn),
(1)證明: 平面;
(2)若是的中點(diǎn),求與平面所成的角的正切值;
(3)若滿足面,求的值.
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