Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，證明；

（2）若，求的取值范圍；并證明此時的極值存在且與無關(guān).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用題意求解導(dǎo)函數(shù)，求解 得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，求解 得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由 可以得出結(jié)論；

(2)將 變形為，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實數(shù) 的取值范圍；分類討論 和兩種情況即可證明此時的極值存在且與無關(guān).

試題解析：

（1）若

當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增

所以，得證

（1）若，變形得到，

令，得到

，令，可得在單增，在單減，所以，

在單減，當所以，∴

（注：若令），得到

令，

，所以在單減，在單增，所以，

即在單增，當所以，∴

下面再證明的極值存在且與無關(guān)：

①,

與無關(guān).

②

（其中）所以且在處取極小值

因為，∴是關(guān)于的函數(shù)（與無關(guān)），

所以也是關(guān)于的函數(shù)（與無關(guān)）.