Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{{{{（x-1）}^2}}}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0，求解不等式得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1．

解答 （I）解：$f'（x）=\frac{1}{x}-x+1=\frac{{-{x^2}+x+1}}{x}$，x∈（0，+∞）．
由f′（x）＞0得$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-{x^2}+x+1＞0\end{array}\right.$解得$0＜x＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（{0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$．
（II）證明：令F（x）=f（x）-（x-1），x∈（0，+∞）．
則有$F'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{x}$．當(dāng)x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
所以F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＞1時，F(xiàn)（x）＜F（1）=0，
即當(dāng)x＞1時，f（x）＜x-1．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與對數(shù)的關(guān)系，不等式的證明的方法，考查分析問題解決問題的能力．