Question

9．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+{y}^{2}$=1（m＞1）與雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}-{y}^{2}=1$（n＞0）有公共焦點(diǎn)F₁、F₂，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，證明：F₁P⊥F₂P．

Answer 1

分析 由題意可得：m²-1=n²+1=$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，即m²=n²+2．設(shè)|PF₁|=s，|PF₂|=t，假設(shè)s＞t．利用橢圓與雙曲線(xiàn)的定義可得：s-t=2n，s+t=2m，分別平方相加可得：2s²+2t²=4n²+4m²，于是s²+t²=4n²+4=$（2\sqrt{{n}^{2}+1}）^{2}$，即可證明．

解答 證明：由題意可得：m²-1=n²+1=$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，即m²=n²+2．
設(shè)|PF₁|=s，|PF₂|=t，假設(shè)s＞t．
則s-t=2n，s+t=2m，
分別平方相加可得：2s²+2t²=4n²+4m²=8n²+8，
∴s²+t²=4n²+4=$（2\sqrt{{n}^{2}+1}）^{2}$，
即$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴F₁P⊥F₂P．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線(xiàn)的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理的逆定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．