Question

已知函數(shù)f（x）=x³-mx²-x+1，其中m為實數(shù)．
（1）當m=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

4

3

]上的最大值和最小值；
（2）若對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-

7

4

恒成立，其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的極值和區(qū)間端點值，從而求出函數(shù)的最大值和最小值；
（2）分x＞0，x=0，x＜0三類進行討論，分別求出在給定區(qū)間上的最值，解決恒成立問題．

解答： 解：（1）∵當m=1時，f（x）=x³-x²-x+1，
∴f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
當x＜-

1

3

或x＞1時f′（x）＞0，當-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

3

）和（1，

4

3

]上單調(diào)遞增，在（-

1

3

，1）上單調(diào)遞減，
又f（-1）=0，f(-

1

3

)=

32

27

，f（1）=0，f(

4

3

)=

7

27

，
∴f（x）在區(qū)間上的最大值為f(-

1

3

)=

32

27

，最小值為f（1）=0；
（2）f′（x）=3x²-2mx-1⇒3x²-2mx-1≥|x|-

7

4

①當x=0時，m∈R；
②當x＞0時，3x2-(2m+1)x+

3

4

≥0⇒2m+1≤3(x+

1

4x

)，在x＞0時恒成立，
∵3(x+

1

4x

)min=3，此時x=

1

2

，∴2m+1≤3，∴m≤1；
③當x＜0時，3x2-(2m-1)x+

3

4

≥0即2m-1≥3(x+

1

4x

)，在x＜0時恒成立，
∵3(x+

1

4x

)max=-3，此時x=-

1

2

，∴2m-1≥-3，∴m≥-1；
綜上得m的取值范圍為[-1，1]．

點評：本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求最值，利用最值解決恒成立問題，運用了分類討論思想．是一道導數(shù)應用的綜合題，屬于難題．