【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為,其中,.

1)若,判斷的單調(diào)性;

2)當,設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點,求正數(shù)a的取值范圍;

3)當時,證明:對于,有.

【答案】1)見解析;(23)見解析

【解析】

1)由題意求導(dǎo)后,按照、分類,解出、的解集即可得解;

2)對求導(dǎo),令,求導(dǎo)后可得上單調(diào)遞減,按照、,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、零點存在性定理即可得解;

3)令,求導(dǎo)后可得對,恒有,依次取,求和即可得證.

1時,,,

,

①當時,,上單調(diào)遞增;

②當時,令,,(舍),

,,,

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;

綜上,當時,上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;

2)由題意,則,

,

上單調(diào)遞減,∴,

①若,則,即上單調(diào)遞減,

,∴,不合題意;

②若,則,,

∴根椐零點存在性定理,使得,

,使得,

時,,上單調(diào)遞增,且

,函數(shù)無零點;

時, ,上單調(diào)遞減,

其中,

,則,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,

,

,

根據(jù)零點存在性定理可得時有且僅有一個零點,符合題意;

綜上:;

3)當時,令,則

時,恒有,即上單調(diào)遞減,

恒成立.

,故

即對,恒有,

在此不等式中依次取,得:

,,

,

將以上不等式相加得:,即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;

(2)若函數(shù)有兩個不同的零點.

(ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;

(ⅱ)求證:.(其中的極小值點)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】總體由編號為0102,...,39,4040個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表(如下表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為(

60 44 66 44 21

66 06 58 05 62

61 65 54 35 02

42 35 48 96 32

14 52 41 52 48

92 66 22 15 86

96 63 75 41 99

58 42 36 72 24

A.23B.21C.35D.32

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研,力爭有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援,現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.

1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);

2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:

抗倒伏

易倒伏

矮莖

高莖

3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?

附:,

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校在高一年級一班至六班進行了社團活動滿意度調(diào)查(結(jié)果只有滿意不滿意兩種),從被調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取了50人,具體的調(diào)查結(jié)果如表:

班號

一班

二班

三班

四班

五班

六班

頻數(shù)

4

5

11

8

10

12

滿意人數(shù)

3

2

8

5

6

6

現(xiàn)從一班和二班調(diào)查對象中隨機選取4人進行追蹤調(diào)查,則選中的4人中恰有2人不滿意的概率為___________;若將以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)中學(xué)生持滿意態(tài)度的頻率視為概率,在高一年級全體學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生,記其中滿意的人數(shù)為X,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望是___________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系xOy上取兩個定點A1,0),A2,0),再取兩個動點N10m),N20,n),且mn2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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1)當時,證明:

2)當時,討論函數(shù)的零點個數(shù).

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