Question

4．已知二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$）ⁿ（n∈N^*，n＜15）
（1）求二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和；
（2）若二項(xiàng)式展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值；
（3）在（2）的條件下寫出它展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由二項(xiàng)式系數(shù)即為該項(xiàng)的系數(shù)，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可得到；
（2）由展開(kāi)式中的通項(xiàng)，得到各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)公式，化簡(jiǎn)整理，解方程即可求出n；
（3）寫出通項(xiàng)，化簡(jiǎn)整理，判斷r是6的倍數(shù)，又0≤r≤14，列舉出所有的有理項(xiàng)即可．

解答 解：（1）二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和就是二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和
∴二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為${C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n}$=2ⁿ，
（2）展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是C_n⁸，C_n⁹，C_n¹⁰，依題意得C_n⁸+C_n¹⁰=2C_n⁹，
寫成$\frac{n！}{8�。╪-8）！}$+$\frac{n！}{10�。╪-10）！}$=2•$\frac{n！}{9！（n-9）！}$
化簡(jiǎn)得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23；
（3）展開(kāi)式的通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{14}^{r}$${x}^{\frac{14-r}{2}}$•${x}^{\frac{r}{3}}$=${C}_{14}^{r}{x}^{\frac{42-r}{6}}$，
∴展開(kāi)式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)，又0≤r≤14，
∴展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)是r=0，r=6，r=12，
∴展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是T₁=${C}_{14}^{0}$x⁷=x⁷，T₇=${C}_{14}^{6}$x⁶=3003x⁶，T₁₃=${C}_{14}^{12}$x⁵=91x⁵．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，注意運(yùn)用通項(xiàng)公式求某一項(xiàng)，區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與某一項(xiàng)的系數(shù)，注意隱含條件的運(yùn)用，考查組合數(shù)的公式及指數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．