Question

15．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)都為3，A₁在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AB與CC₁所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{9}{16}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{16}$
• D． $\frac{3}{16}$

Answer 1

分析 設(shè)BC中點(diǎn)為O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)AB與CC₁所成的角的余弦值．

解答 解：設(shè)BC中點(diǎn)為O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，OA₁為z軸，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)都為3，A₁在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，
∴A（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，0），B（0，-$\frac{3}{2}$，0），C（0，$\frac{3}{2}$，0），C₁（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{37}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{37}}{2}$），
設(shè)異面直線(xiàn)AB與CC₁所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{C{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|}$|=|$\frac{\frac{27}{4}}{3×4}$|=$\frac{9}{16}$．
∴異面直線(xiàn)AB與CC₁所成的角的余弦值為$\frac{9}{16}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．