Question

15．假定某籃球運(yùn)動員每次投籃命中率均為P（0＜P＜1）．現(xiàn)有3次投籃機(jī)會，并規(guī)定連續(xù)兩次投籃均不中即終止投籃．已知該運(yùn)動員不放棄任何一次投籃機(jī)會，且恰用完3次投籃機(jī)會的概率是$\frac{21}{25}$
（1）求P的值；
（2）設(shè)該運(yùn)動員投籃命中次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望E（ξ）

Answer 1

分析 （1）利用對立事件，結(jié)合恰用完3次投籃機(jī)會的概率是$\frac{21}{25}$，求P的值；
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答 解：（1）設(shè)事件A：“恰用完3次投籃機(jī)會”，則其對立事件A：“前兩次投籃均不中”
由題意，P（A）=1-（1-p）²=$\frac{21}{25}$，
∴p=$\frac{3}{5}$；
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，則
P（ξ=0）=（1-p）²=$\frac{4}{25}$，P（ξ=1）=p（1-p）²+（1-p）p（1-p）=$\frac{24}{125}$，
P（ξ=3）=p³=$\frac{27}{125}$
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{54}{125}$，
∴ξ的概率分列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{25}$	$\frac{24}{125}$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$

數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×$\frac{4}{25}$+1×$\frac{24}{125}$+2×$\frac{27}{125}$+3×$\frac{54}{125}$=$\frac{213}{125}$．

點(diǎn)評 本題考查隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，明確變量的含義，求出概率是解題的關(guān)鍵．