Question

12．已知在平面直角坐標系xOy中，過點（1，0）的直線l與直線x-y+1=0垂直，且l與圓C：x²+y²=-2y+3交于A、B兩點，則△OAB的面積為2．

Answer 1

分析 圓C：x²+y²=-2y+3化為x²+（y+1）²=4，由過點（1，0）的直線l與直線x-y+1=0垂直，可得直線l的方程為：x+y-1=0．利用點到直線的距離公式可得：圓心C（0，-1）到直線l的距離d．可得弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-5jbvptb^{2}}$．Ly S_△OAB=$\frac{1}{2}|AB|d$j即可得出．

解答 解：圓C：x²+y²=-2y+3化為x²+（y+1）²=4，
∵過點（1，0）的直線l與直線x-y+1=0垂直，
∴直線l的方程為：x+y-1=0．
圓心C（0，-1）到直線l的距離d=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴弦長|AB|=$2\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了直線與圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．