Question

17．實數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$，則z=ax+y的最大值為2a+3，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-3，1]
• B． [-1，3]
• C． [3，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，進一步分目標函數(shù)z=ax+y的最大值為a+3，構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出a的范圍．

解答 解：由變量x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$，
作出可行域：

∵z=ax+y，A（0，1），∴z_A=1；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}\right.$，得B（2，3），∴z_B=2a+3；
C（3，0），∴z_C=3a．
∵線性目標函數(shù)z=ax+y的最大值為2a+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+3≥3a}\\{2a+3≥1}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤3．
故選：B．

點評 在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域⇒②求出可行域各個角點的坐標⇒③將坐標逐一代入目標函數(shù)⇒④驗證，求出最優(yōu)解．