Question

19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足：a²=（b-c）²+（2-$\sqrt{3}$）bc，又sinAsinB=$\frac{1+cosC}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．
（2）根據(jù)sinAsinB=$\frac{1+cosC}{2}$，利用兩角和差的余弦公式花簡(jiǎn)求得cos（A-B）=1，可得A=B=$\frac{π}{6}$，可得C的值，從而求得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ab•sinC 的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵a²=（b-c）•2²+（2-$\sqrt{3}$）bc，∴b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵sinAsinB=$\frac{1+cosC}{2}$，∴2sinAsinB=1+cosC=1-cos（A+B）=1-（cosAcosB-sinAsinB），
化簡(jiǎn)可得cos（A-B）=1，∴A-B=0，即A=B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{2π}{3}$．
再根據(jù) a=4，可得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角和差的余弦公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．